Geometric Distribution

Geometric Random Variable에 대한 분포. 각 시도는 독립적이고, 매 시도의 확률은

p

로 고정된다.

그러한 $X \sim Geom (p)$ 에 대해서

P (X = k) = (1 - p)^{k} p

$k$ 번의 독립적인 실패할 확률 $(1 - p)^{k}$ , 그리고 첫 번째 성공의 확률 $p$ 를 곱한 값이 그 확률이다.

Geometric Distribution은 Memoryless한 특징을 가진다. 이는 과거의 실패가 미래 확률에 영향을 미치지 않는다는 뜻이다. 이는 독립적인 Bernoulli 실행에서 나타나는 특징이다.

P (X > k + m ∣ X > k) = P (X > m)

즉, $k$ 번의 실패 이후 $m$ 번의 Bernoulli 실행 후의 확률과 동일하다.

Expectation of Geometric Distribution

E [X] = k = 0 \sum \infty x P (x) = k = 0 \sum \infty k (1 - p)^{k} p

Geometric Series에 대해

k = 0 \sum \infty (1 - p)^{k} = \frac{1}{p}

이고, 양 변을 $p$ 에 대해서 미분하면

k = 1 \sum \infty k (1 - p)^{k - 1} (- 1) = - \frac{1}{p ^{2}}

k = 1 \sum \infty k (1 - p)^{k} = \frac{1 - p}{p ^{2}}

위 식에 양 변에 p를 곱하면

E [X] = \frac{1 - p}{p}

V [X] = \frac{1 - p}{p ^{2}}

첫 번째 성공까지 걸린 시도 수.

Geometric Random Variable와 달리 '성공'까지 횟수에 포함시킨다.

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p

따라서 $Y \sim Geom (p)$ 일 때, First Success Distribution을 따르는 $X \sim FS (p) = Y + 1$ 는

E [X] = E [Y] + E [1] = \frac{1 - p}{p} + 1 = \frac{1}{p}