Negative Binomial Distribution

Negative Binomial Random Variable에 대한 discrete 분포. 각 베르누이 시도는 모두 독립적이고, 확률은

p

로 고정된다.

그러한 $X \sim NB (r, p)$ 에 대하여

P (X = n) = (r - 1 n + r - 1) p^{r} (1 - p)^{n}

$r$ 번의 성공을 해야 하므로 $p^{r}$ , 그리고 $n$ 번의 실패가 있게 되므로 $(1 - p)^{n}$ .
그러한 성공과 실패를 나열하는 순열은,

(r - 1 n + r - 1)

마지막 시도는 항상 성공하므로 이를 제외하고 $r - 1$ 번의 성공과 $n$ 번의 실패를 거치게 된다. 이 때, 성공 $r - 1$ 이 나타나는 순서는 중요하지 않으므로 이를 제외한 Combination을 곱해주면 그 확률 분포가 된다.

Expectation of Negative Binomial Distribution

E [X] = n = 0 \sum \infty n (r - 1 n + r - 1) p^{r} (1 - p)^{n}

$X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{r}$ 로 볼 수 있는데, 각각의 $X_{j}$ 는 $j - 1$ 과 $j$ 번째 성공 사이의 실패의 횟수, 즉 Geometric Random Variable이다.

기대값의 선형성에 의해 $X_{j}$ 각각의 기대값의 합으로 볼 수도 있으므로 기하 확률 변수 기대값들의 합이라 할 수 있다. 따라서,

E [X] = r \times \frac{1 - p}{p}

만약 $X$ 가 성공 횟수까지 포함한, 즉 전체 시도 횟수라 해도,

E [X + r] = E [X] + r = r \times (\frac{1 - p}{p} + 1) = \frac{r}{p}

와 같이 간단히 계산 가능하다.