Convolution(합성곱)

Convolution with Random Variable

독립이고 분포를 아는 두 확률 변수

X, Y

에 대해서 아는 분포를 이용해

T = X + Y

의 분포를 계산하는 데도 성립한다.

확률 변수 역시 함수이고, 그러한 함수의 분포에 대한 적분을 통해 확률 값이 얻어지므로 이를 통해 PDF를 알아낼 수 있다.

f_{T} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (t - x) d x

CDF $F_{T}$ 에 대해서, continious한 전체 확률의 법칙을 적용하면

F_{T} (t) = P (T \leq t) = \int_{- \infty}^{\infty} P (X + Y \leq t ∣ X = x) f_{X} (x) d x

$X = x$ 를 대입하고 $X$ 와 $Y$ 가 독립적이므로 조건 부분은 없어진다.

= \int_{- \infty}^{\infty} F_{Y} (t - x) f_{X} (x) d x

well-behaved한 함수라고 한다면, 적분 식 내에 함수를 미분 가능하니, $t$ 에 대해서 적분하면 PDF $f_{T} (t)$ 는

f_{T} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (t - x) d x

합성곱의 정의와는 조금 거리가 있지만, 이산적인 경우에도 성립한다.

P (T = t) = x \sum P (X = x) P (Y = t - x)

$Y$ 는 항상 합을 $t$ 로 만들어지도록 고정 시켜 주는 역할이라 할 수 있다.

Random Variable의 합이, 두 확률 변수의 값의 합의 모든 조합이라는 것을 생각해보면

P (T = t) = (x, y) : x + y = t \sum P (X = x, Y = y) = x \sum P (X = x, Y = t - x)

와 동일하다. 이 때, 두 확률 변수는 서로 독립이므로 곱으로 표현될 수 있다.