Correlation(상관)

두개의 Random Variable사이의 상관 관계를 나타내는 수치.

한 확률 변수의 변인이 다른 확률 변수의 변인의 방향과 얼마나 일치하거나 다르게 나타내는지를 나타낸다.

ρ_{X Y} = CR [X, Y] \equiv \frac{CV [ X , Y ]}{V [ X ] V [ Y ]} = CV (\frac{X - E [ X ]}{SD [ X ]}, \frac{Y - E [ Y ]}{SD [ Y ]})

⇒ 두 variable간의 unit을 없애기 위해 normalize한 것이라 볼 수도 있다.
맨 오른쪽 식은 정규화를 먼저 적용하고, 공분산을 구하는 것과 같다.

상관의 범위

- 1 \leq ρ_{X Y} \leq 1

의 값을 가지는 것이 알려져 있으며, 이는 코시-슈바르츠 부등식과 일치한다.

표준화(Standardization, 평균이 0이고 분산이 1)된 확률 변수 $X$ 와 $Y$ 에 대해서,

$0 \leq V [X + Y] = V [X] + V [Y] + 2 CV [X, Y] = 1 + 1 + 2 ρ_{X Y} = 2 + 2 ρ_{X Y}$
$0 \leq V [X - Y] = V [X] + V [Y] - 2 CV [X, Y] = 1 + 1 - 2 ρ_{X Y} = 2 - 2 ρ_{X Y}$

분산은 반드시 0보다 크므로 위 두개의 식이 성립하게 되므로, $- 1 \leq ρ_{X Y} \leq 1$ 이 성립한다.