Cauchy-Schwarz Inequality(코시-슈바르츠 부등식)

두 확률변수

X

와

Y

의 곱의 기대값

E [X Y]

가 각 변수의 제곱의 기대값(

E [X^{2}]

E [Y^{2}]

)과의 부등식.

∣ E [X Y] ∣ \leq E [X^{2}] E [Y^{2}]

사실 이 부등식은 Correlation에서 상관계수가 $(- 1, 1)$ 사이의 값이라는 성질과 동일하다.

위에서 좌변은 $X$ 와 $Y$ 의 결합 분포를 알아야 계산할 수 있다. 이에 상한선을 제시할 수 있다는 장점이 있다.

증명

∣ Corr (X, Y) ∣ = \frac{E [ X Y ]}{{ E [ X ^{2} ] E [ Y ^{2} ] } ^{1/2}} \leq 1

과 동일하게 볼 수 있다.

이는 $X$ 와 $Y$ 의 평균이 모두 0일때 성립하는 식인데, 평균이 0이 아니라도 항상 성립하는 일반적인 성질이다.