Chebyshev's Inequality

어떤 데이터이든, 그 값이 평균에서

k \times

표준편차 이상 떨어져 있을 확률은

\frac{1}{k ^{2}}

보다 클 수 없다.

이는 Markov's Inequality의 분산 버젼으로 생각되는데, 실제로 Markov's Inequality에서 유래한다.

P (∣ X - μ ∣ \geq a) \leq \frac{V [ X ]}{a ^{2}}

동일하게 $a = kσ$ 로 생각하면

P (∣ X - μ ∣ \geq kσ) \leq \frac{1}{k ^{2}}

이는 68-95-99.7 Rule와 비슷해 보이는데, 실제로는 이 확률보다 훨씬 더 작게 매긴다. 체비셰프 부등식은 모든 분포에 대해서 성립해야 하기 때문에 더 엄격한 상한선으로 매어진다.

Proof

Markov's Inequality로 바로 증명된다.

P (∣ X - μ ∣ \geq a) = P ((X - μ)^{2} \geq a^{2}) \leq \frac{E [( X - μ ) ^{2} ]}{a ^{2}} = \frac{V [ X ]}{a ^{2}}