LOTUS(Law of the Unconscious Statistician)

어떠한 Random Variable을 정의역으로 받아 만들어지는 새로운 함수(=Random Variable)의 기대값을 계산할 때, 그 분포(PDF/PMF)를 그대로 사용해여 계산해도 동일하다는 이론.

Y = g (X), E [Y = g (X)] = \int g (x) f (x) d x

⇒ $f (x)$ 는 Random Variable $X$ 의 PDF. PMF에 대해서도 동일하다.

즉, 새로운 Random Variable $Y$ 의 distribution 함수를 구하지 않고도 기대값을 계산할 수 있다.

직관적으로 생각해보자면, 어떤 변환 함수 $g$ 를 거쳤다 하더라도, $X$ 가 뽑힐 확률 자체는 동일하므로 그 분포 함수를 그대로 사용해도 된다고 볼 수 있다.

성립 이유

표본 공간 $S$ 에 대해, 각 원소 $s$ 의 결과 값( $g$ 를 적용한 결과) 그 확률을 곱해 모두 더하면 기대 값의 정의이다.
$E [g (X)] = s \in S \sum g (X (s)) P ({s})$

이 때, $X$ 가 가질 수 있는 값 $x$ 외에는 확률이 0일테니, 그러한 $x$ 별로 모아서 계산 한다고 하면

E [g (X)] = x \sum s : X (s) = x \sum g (X (s)) P ({s})

안 쪽의 합의 $s$ 에 대해서는 $X (s) = x$ 가 성립하므로, 그 합 안에서는 $g (X (s)) = g (x)$ 이다.

= x \sum g (x) s : X (s) = x \sum P ({s}) = x \sum g (x) P (X = x)

그리고 내부의 합 $\sum_{s : X (s) = x} P ({s})$ 은 $X (s) = x$ 를 만족하는 $s$ 들의 확률의 합이므로 $P (X = x)$ 와 같다.

따라서 LOTUS 법칙이 성립한다.

2차원 상에서의 LOTUS.

즉, 두 확률 변수 $X$ 와 $Y$ 에 대해서 동시에 다룰 때에 대한 LOTUS 법칙이다.
$X$ 와 $Y$ 의 Joint PDF $f (x, y)$ , 그리고 $x, y$ 에 대한 치역이 실수인 변환 함수 $g (x, y)$ 에 대해서

E [g (x, y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} g (x, y) f (x, y) d x d y

이 성립한다.