Change of Variables(변수 변환)

LOTUS는 평균값만 계산할 수 있다. 변환된 확률 변수의 전체 분포를 알기 위해 사용된다.

continious Random Variable: $X$ 가 PDF $f_{X}$ 를 가진다.
$Y = g (X)$ 이고, $g$ 는 다루는 구간에서 미분 가능한 단조증가함수. ⇒ 이 때, $Y$ 의 PDF $f_{Y} (y)$ 는 ( $y = g (x)$ , $g (x)$ 는 단조증가함수이므로 역함수가 존재.)

f_{Y} (y) = f_{X} (x) \frac{d x}{d y} = f_{X} (x) (\frac{d y}{d x})^{- 1}

Proof

F_{Y} = P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y)

$g^{- 1}$ 를 양 변에 취해도, $g$ 는 단조증가함수이므로 부등호의 방향이 바뀌지 않는다.

= P (X \leq g^{- 1} (y)) = F_{X} (g^{- 1} (y)) = F_{X} (x)

$F_{Y} (y) = F_{X} (x)$ 라는 식이 나오게 되므로, 양변을 $y$ 에 대해서 미분하면

f_{Y} (y) = f_{X} (x) \frac{d x}{d y}

다차원

R^{n}

에서의 변수 변환.

이라고 할 때, $Y$ 의 Joint PDF $f_{Y} (y)$ 는

f_{Y} (y) = f_{X} (x) \frac{d x}{d y} = f_{X} (x) \frac{d y}{d x}^{- 1}

⇒ $\frac{d x}{d y}$ 는 자코비안 행렬의 Determinant 값. 역행렬의 Determinant값이 Determinant의 값의 역수라는 점을 생각해보면 Chain-Rule을 통한 역함수를 취해도 되는 점과 동일하다.