Adam's Law

조건부 기대값에 대해서 다시 기대값을 취했을 때, 조건 없는 기대값이 나오게 된다는 법칙.

한 번에 평균을 구하나, 아니면 그룹 지어서 각각 평균을 낸 후, 그 평균끼리의 평균을 구하나 동일하다는 의미이다.

E [E [Y ∣ X]] = E [Y]

이는 전체 확률의 법칙의 기대값 버젼이라고 볼 수 도 있다.

E [Y] = x \sum E [Y ∣ X = x] P (X = x)

⇒ LOTUS에 의해 성립한다.

길이가 1인 나뭇가지를 Random하게 부러뜨릴 때, 부러진 나뭇가지 길이를

X

, 거기서 한 번 더 부러뜨린 나뭇가지 길이를

Y

라 하면

Proof

$E [Y ∣ X] = g (X)$ 라 하면 LOTUS에 의해

E [Y] = E [g (X)] = x \sum g (x) P (X = x) = x \sum E [Y ∣ X = x] P (X = x)

= x \sum (y \sum y P (Y = y ∣ X = x)) P (X = x) = y \sum x \sum y P (Y = y, X = x) = y \sum y P (Y = y) = E [Y]

⇒ 합이 수렴한다면 합하는 순서를 바꾸어도 문제는 없다.